Abakus (liczydło)

Abakus

Abakus lub abak (łac. abacus, gr. ἄβαξ, ábax – deska) to deska z wyżłobionymi rowkami, które symbolizowały kolejne potęgi dziesięciu. Umożliwiał liczenie i był używany w Rzymie oraz Grecji od 440 roku p.n.e. aż do XVIII wieku, będąc prekursorem liczydła i maszyn liczących. Jego zastosowanie miało również miejsce w innych krajach Europy.

Obliczenia przeprowadzano poprzez wkładanie i przesuwanie kamyków w rowkach. Zasada liczenia była analogiczna do tej stosowanej na liczydle. Jedna z odmian abakusa, która była znaczącym udoskonaleniem, została przypisana Rzymianom, a jej nazwa to mensa pythagoreana (stół pitagorejski). Chińczycy korzystali z liczydła znanego jako suanpan. Nie jest do końca jasne, czy jest to wynalazek chiński, czy powstało na bazie abakusa rzymskiego. Japońska wersja tego narzędzia nosi nazwę soroban (jap. 算盤).

Historia

Początkowo do liczenia wykorzystywano palce. W miarę rozwoju handlu, gdzie handlarze potrzebowali metody na określenie liczby sprzedanych lub zakupionych dóbr oraz ich kosztu, pojawiła się potrzeba używania większych liczb. Zaczęto stosować kamyki i patyczki do ich oznaczania. Na początku korzystano z systemu jedynkowego (jeden kamyk oznaczający jeden obiekt), z czasem zaczęto różnicować kształty używanych przedmiotów, aby oznaczać różne rodzaje obiektów lub różne liczności (początek systemów pozycyjnych) – kamyki w jednym kształcie oznaczające cyfrę jedności, w innym – cyfrę dziesiątek itd.

Pierwsze abakusy były dość nietrwałe – często rysowano je w piasku lub na drewnie. Najstarszym znanym przykładem abakusa jest tabliczka odkryta w 1846 roku na wyspie Salaminie (Grecja), datowana na III wiek p.n.e. Jest to marmurowa tabliczka o wymiarach 149 cm wysokości, 75 cm szerokości i 4,5 cm grubości, składająca się z dwóch grup linii poziomych (pięć w górnej części, jedenaście w dolnej), oddzielonych pionową linią oraz trzech zestawów symboli greckich, umieszczonych wzdłuż lewej, prawej i dolnej krawędzi płytki.

Abakusy są nadal powszechnie używane przez kupców, przedsiębiorców i urzędników w Azji oraz w edukacji osób niewidomych, zamiast działań pisemnych. Badania sugerują, że wizualizacja układu abakusa (szczególnie w wersji japońskiej) może przyspieszać proces obliczeń, ponieważ angażuje obie półkule mózgowe, podczas gdy obliczenia pisemne angażują tylko lewą półkulę.

Wygląd i działanie

Abakus grecki składa się z dwóch grup linii poziomych, oddzielonych pionową linią. Na dolnych liniach odliczano mantysę liczby ułamkowej, a na górnej wykładnik.

Abakus rzymski natomiast składa się z kolumn odpowiadających odpowiednim pozycjom dziesiętnym. Każda kolumna składa się z dwóch części: dolnej, na której znajduje się pięć kamyków, oraz górnej z dwoma. Osobna kolumna była przeznaczona do reprezentacji ułamków.

Reprezentacja liczb

Linie (na których umieszczano kamienie) wyznaczają wartości odpowiadające kolejnym potęgom liczby 10, a przestrzeń między nimi odpowiadała połowie wartości górnej linii.

Aby zredukować liczbę potrzebnych kamyków, umieszczenie ich po lewej stronie pionowej linii oznaczało wartości ujemne. W ten sposób do oznaczenia liczby 9 zamiast pięciu kamyków (5+1+1+1+1) wystarczyło użyć dwóch (10-1).

Dodawanie

Aby dodać do siebie dwie liczby, należy odłożyć jedną z nich na abakusie, następnie rozsunąć kamyki na boki i pośrodku ułożyć drugą. Proces dodawania polega na połączeniu i normalizacji „zapisu”, aby użyć jak najmniejszej liczby kamyków:

jeśli na jednej wysokości po obu stronach znajduje się kamyk, oba zdejmujemy (np.: -5 + 5 = 0 lub ogólnie: – x + x = 0 = zdjęcie obu kamyków z abakusa),
z dwóch kamyków po jednej stronie pomiędzy dwiema liniami jeden zdejmujemy, a drugi kładziemy na linii nad nimi (np.: -5 + (-5) = 2*(-5) = -10 lub ogólnie x + x = 2x = linia nad iksami),
jeśli na linii znajdują się trzy kamyki po jednej stronie, jeden z nich kładziemy nad tą linią, a dwa przenosimy na drugą stronę (3 = 5 – 2),
mając jeden kamyk na linii i drugi pod linią po drugiej stronie, dolny przenosimy na drugą stronę, a górny zdejmujemy (10 – 5 = 5).

Odejmowanie

Aby otrzymać liczbę ujemną, wystarczy przesunąć kamyki na drugą stronę, ponieważ liczba ujemna jest symetrycznym odbiciem względem pionowej linii. W ten sposób, aby odjąć liczbę, wystarczy dodać liczbę przeciwną.

Mnożenie

Mnożenie na abakusie polega na mnożeniu przez kolejne pozycje. Liczby mnożone układamy na dwóch abakusach (lub na jednym, dzieląc je jak w przypadku innych działań), natomiast wynik budujemy na kolejnym. Zaczynamy od kamyków składających się na mnożnik, które układamy na liniach abakusa. Dla każdej pozycji: kopiujemy mnożną na abakus wynikowy, przyjmując linię, na której znajduje się kamyk mnożnika, przez który mnożymy, jako linię jednostek. Zdejmujemy kamyk z mnożnika i normalizujemy dotychczasowy wynik.

Gdy wyczerpiemy kamyki na liniach wyznaczających potęgi 10, należy pomnożyć przez kamyki w pozycjach pomiędzy liniami. W tym celu mnożymy mnożnik przez 2 (przesuwając pozostałe kamyki na linie znajdujące się bezpośrednio nad nimi), a mnożną dzielimy przez 2:

jeśli na danej wysokości były dwa kamyki, zdejmujemy jeden z nich,
kamyk z linii zastępujemy jednym położonym w przestrzeni poniżej (o dwukrotnie mniejszej wartości),
kamyk z przestrzeni pomiędzy liniami zastępujemy dwoma położonymi na linii poniżej i jednym położonym w przestrzeni poniżej (np. 50 zastępujemy poprzez 2*10 + 5).

Dzielenie

Dzielenie na abakusie opiera się na mnożeniu. W miejscu wyniku mnożenia umieszczamy dzielną, a w miejscu mnożnej – dzielnik. Proces polega na dobieraniu możliwie najwyższej pozycji kamyka w wyniku (miejsce mnożnika przy mnożeniu) i odejmowaniu wartości uzyskanej z pomnożenia tej pozycji przez dzielnik od dzielnej. Jeśli dzielna w trakcie obliczeń staje się ujemna, następny kamyk ustawiamy po ujemnej stronie wyniku i postępujemy analogicznie.

Przypisy

Bibliografia

Stephen Kent Stephenson: How to use a Counting Board Abacus. 2014-05-19. [dostęp 2015-02-24]. (ang.).

Luis Fernandes: The Art of Calculating with Beads. [dostęp 2015-02-24]. (ang.).

Jörn J. Lütjens: The abacus – one of the oldest calculation devices, International Meeting of Slide Rule Collectors, 20 sierpnia 2003, s. 118–128 (ang.).

Michael C. Frank, David Barner: Representing Exact Number Visually Using Mental Abacus. „Journal of Experimental Psychology”, s. 1–16, 2011-05-18. American Psychological Association. DOI: 10.1037/a0024427. (ang.).