1 – liczba naturalna
1 (jeden) to liczba naturalna, która występuje po 0 i przed 2. Jest to również cyfra używana do reprezentacji liczb w różnych systemach liczbowych, takich jak systemy: dwójkowy (binarny), ósemkowy, dziesiętny oraz szesnastkowy.
Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.
1 nie jest klasyfikowana ani jako liczba pierwsza, ani jako liczba złożona, ponieważ ma tylko jeden dzielnik naturalny, którym jest sama liczba 1.
Etymologia nazwy
W staropolskim występowała forma jedzin, jedzien (w dopełniaczu jednego), która skróciła się do e ruchomego z powodu częstego użycia, a d dodano z form przypadków zależnych. Starsza forma, bez redukcji, przekształciła się w jedyny, pod wpływem słowa jeden (zobacz też rzeczownik liczebnikowy jedynka). Postać zachodniosłowiańska to †jedinъ, a wschodniosłowiańska to †odinъ, co można porównać do odyniec, pierwotnie oznaczającego „starego samca dzika żyjącego w pojedynkę”.
Element jed- ~ od- ma być pozostałością archaicznego formantu *ed, oznaczającego 'tylko, właśnie’, który pochodzi z zaimka wskazującego rodzaju nijakiego o rdzeniu *e. Pozostawił on ślady w językach anatolijskich (np. hetyckie edi „w tym”), w łacinie (ecce < *ed-ke „oto”), w językach germańskich (niem. etwas „coś”), w sanskrycie (asya „tego” < *e-sjo). Ten sam formant można znaleźć w polskim ledwie, kiedyś ledwo, co jest skrótową formą od le jedwo (histor. znane w języku staropolskim); jedwo zawiera końcówkę przysłówków -o i zastępuje ogólnosłowiańskie jedva < *ed-wōs, por. litewskie võs „ledwie”. Istnieje także teoria łącząca element jed- ~ od- z liczebnikiem semickim oznaczającym „jeden”: arab. wāḥidun, ˀaḥadun, hebr. ˀeḥād.
Cząstka inъ; jest widoczna również w polskim inny < iny, a w języku starocześć. inorogъ; „jednorożec”. Zawarta w niej samogłoska i jest wynikiem rozwoju zredukowanego indoeuropejskiego *oi (możliwe przez stadium *ui) – jest to najbardziej pierwotna postać liczebnika „jeden”, jaką można zrekonstruować. Zachowana być może w greckim (dialekt) íos „jeden” w innej postaci apofonicznej (wyraz ten może być jednak efektem analogicznych wyrównań). W różnych językach indoeuropejskich rozszerzono ją o elementy spółgłoskowe:
- -n-, por. łac. ūnus < oinos, ang. one < stang. ān < pragermańskie †ajnaz, prasłowiańskie †inъ; < *oinos, także gr. oínē; ‘jedynka na kostce do gry’, ormiańskie -in ‘ten sam’;
- -k-, por. skr. ēkas < *oikos;
- -w-, por. awest. aeva- < *oiwos, gr. cypr. oiwos „jedyny”.
Rdzeń *oi (< *Hʷoi) być może pierwotnie nie wyrażał liczby 1, lecz 2: *oinos, *oikos, *oiwos znaczyły 'ten z dwóch', ale także 'tamten z dwóch', co dziś można zauważyć w polskim inny. Porównaj przypuszczalne *d(e)-Hʷoi > †dъvě > dwie.
Drugi indoeuropejski rdzeń oznaczający 1, *sem- ~ *sm̥- (por. gr. heĩs < *sems 'jeden', mía < *smijə; „jedna”, hen < *sem „jedno”, monás < †sm-on-ad-s „jedynka”; łac. sem-el „jeden raz”, sim-plex „pojedynczy”, licyj. sñta, toch. sas, ormiańskie mi < *smi) występuje w języku polskim w innej postaci apofonicznej w wyrazie sam < prasłowiańskie †samъ; < *sōmos. Prawdopodobnie forma słowiańska zachowała pierwotne znaczenie rdzenia. W złożeniach występuje także *se-, por. skr. sa- (jeśli nie pochodzi od *sm̥-), gr. hekatón < *se-ḱm̥tom, dosł. „jedna setka”.
Niejasne jest pochodzenie liczebnika '1′ w niektórych językach, np. alb. një (zapewne zapożyczone z łac. ūnus?), hetyckie ant, luwijskie a – może z *anter- ~ *alter- „jeden z dwóch”, por. łac. alter.
Przy wyliczaniu używa się formy raz (< †razъ; „uderzenie” < *(w)rōǵ- „nacięcie”, por. litew. rúožas „pas, kreska”, gr. rhõks, rhõg- „rysa, szczelina”, lezb. wrẽksis), zamiast jeden raz.
Podobieństwo postulowanego indoeuropejskiego *se- do indonezyjskiego se- (< satu „jeden”, por. se-ratus „100”, dosł. „jedna setka”) jest prawdopodobnie przypadkowe, jednak warto to zauważyć.
Liczebnik porządkowy pierwszy to forma wyłącznie polska, utworzona jako stopień (naj)wyższy słowiańskiego przymiotnika †pŕ̥vъ; „pierwszy, początkowy” (por. ros. пе́рвый;, pol. pierwotny, pierworodny, dopiero). Słowo wydaje się opierać na nierozszerzonym indoeuropejskim rdzeniu *pirvo- < *perHʷ ~ *proHʷ; (por. gr. prõtos < *proHʷto-, intonacja cyrkumfleksowa mimo pochodzenia od grupy z laryngalną wynika z greckich praw akcentowych). W innych językach stosuje się formę z sufiksem *-omo- używanym do tworzenia stopnia najwyższego, por. gr. homeryckie prómos < *pr̥Hʷomo-, łac. prīmus, litew. pìrmas, stang. forma < *perH̥ʷmo-, „pierwszy”. Gr. próteros „przedni” także ma sufiks stopnia wyższego *-ter-. Inny stopień apofonii wykazują pol. przód < †perdъ, przedni < †perdъnьjь < *perHʷ-. Skr. prathama pochodzi być może od formy z przestawką *protHʷomo- < *proHʷtomo- i jest z pochodzenia formą stopnia najwyższego (normalnie z sufiksem -tama- < *-t-omo-). Współczesne ang. first również pochodzi z formy stopnia najwyższego, z innym sufiksem (stang. fyrmest). Dokładnym odpowiednikiem formy słowiańskiej wydaje się skr. pūrvas < *pr̥Hʷo- „pierwszy, najstarszy”; możliwe, że lepsza byłaby rekonstrukcja *pr̥Hʷ-wo- z dodatkowym sufiksem. Por. także skr. purā; < *pr̥Hʷ- „w dawnych czasach”, pol. pra- < *proHʷ-.
Cyfra i znak „1”
1 to symbol używany w układach pozycyjnych do zapisywania liczb. Zapisana na n-tym miejscu w liczbie w systemie pozycyjnym o podstawie b oznacza składnik
b
n
−
1
,
{\displaystyle b^{n-1},}
np. 111 to
10
2
+
10
1
+
10
0
{\displaystyle 10^{2}+10^{1}+10^{0}}
w podstawie 10.
Znak pisarski „1” używany obecnie składa się z pionowej kreski, podstawki oraz ewentualnie haczyka na górze (bocznej poprzecznej kreski). W krajach anglojęzycznych i azjatyckich w piśmie odręcznym, a także w wielu krojach czcionek i fontów – znak „1” zapisywany jest w formie samej pojedynczej pionowej kreski, bez haczyka. W innych krajach, jak na przykład w Polsce, znak „1” pisze się z wyraźnym haczykiem u góry. Te różnice powodują częste problemy w międzynarodowej korespondencji, gdzie „jeden z kreską” może być w jednych krajach odczytane jako 7 (znak cyfry siedem), a „siedem bez poprzeczki” może być w innych krajach interpretowane jako 1 (znak cyfry jeden).
Kształt cyfry 1 wywodzi się od hinduskich Braminów, jednak ich jedynka miała formę poziomej linii. Taki kształt tego symbolu został przyjęty w Chinach i jest tam czasami używany. W hinduskim państwie Gupta jedynka była zapisywana jako zakrzywiona linia, a w Nagari czasami dodawano do niej małe kółko po lewej. Współczesny kształt jedynki pochodzi prawdopodobnie z połączenia rzymskiej litery I oznaczającej jeden ze znakiem hinduskim.
Jeden w matematyce
Jeden jest zarówno liczbą, jak i cyfrą używaną w systemie dziesiętnym. Mnożenie liczby rzeczywistej przez jeden nie zmienia jej wartości. Innymi słowy: jeden jest w zbiorze liczb rzeczywistych elementem neutralnym mnożenia. Ogólnie w algebrze, w dowolnym pierścieniu, w którym istnieje element neutralny mnożenia, element taki nazywa się jedynką i oznacza zazwyczaj symbolem
1
:
{\displaystyle 1{:}}
a
⋅
1
=
a
.
{\displaystyle a\cdot 1=a.}
Dzieląc przez jeden, również nie zmienia się wartość liczby:
a
1
=
a
.
{\displaystyle {\frac {a}{1}}=a.}
Jeśli podzielimy niezerową liczbę rzeczywistą przez nią samą, otrzymamy jeden:
a
a
=
1.
{\displaystyle {\frac {a}{a}}=1.
Dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi 1 nie zmienia się:
a
1
=
a
,
{\displaystyle a^{1}=a,}
a jeden w dowolnej potędze jest równy jeden:
1
a
=
1.
{\displaystyle 1^{a}=1.}
Każda liczba rzeczywista różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:
a
0
=
1.
{\displaystyle a^{0}=1.}
Logarytm przy podstawie jeden jest nieokreślony, a logarytm z jedności przy dodatniej podstawie wynosi zero:
log
a
1
=
0.
{\displaystyle \log _{a}1=0.}
Z drugiej strony, logarytm z dodatniej liczby a przy podstawie a jest równy jeden:
log
a
a
=
1.
{\displaystyle \log _{a}a=1.}
W matematyce, jeden nie jest uznawany za liczbę pierwszą, co wynika z definicji, która mówi, że liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki – dzieli się tylko przez jeden i siebie samą. W przypadku liczby 1 nie są to różne liczby. Liczby pierwsze to: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
Wektor o długości równej jeden nazywa się wektorem znormalizowanym, jednostkowym lub wersorem. W kartezjańskim układzie współrzędnych dla wektora jednostkowego o składowych [u,v] spełniony jest warunek:
u
2
+
v
2
=
1.
{\displaystyle {\sqrt {u^{2}+v^{2}}}=1.}
Maksymalna wartość funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus dla liczb rzeczywistych wynosi jeden.
Jedynką trygonometryczną nazywa się tożsamość
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,}
oraz jedynką hiperboliczną:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
,
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,}
spełnione dla każdego rzeczywistego α i x.
Iloczyn tangensa i kotangensa tego samego kąta jest równy jeden:
tg
α
⋅
ctg
α
=
1.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1.}
Pierwsza pochodna funkcji tożsamościowej wynosi jeden:
f
(
x
)
=
x
⟹
f
′
(
x
)
=
1.
{\displaystyle f(x)=x\implies f'(x)=1.}
Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, którego jesteśmy całkowicie pewni, wynosi jeden. Jeżeli wiemy, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia
A
{\displaystyle A}
jest równe
w
,
{\displaystyle w,}
to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego
A
′
{\displaystyle A’}
jest równe:
P
(
A
′
)
=
1
−
w
.
{\displaystyle \mathbb {P} (A’)=1-w.}
Zgodnie z definicją, całka funkcji gęstości rozkładu
f
X
{\displaystyle f_{X}}
powinna być równa jeden po całej dziedzinie. Jeżeli funkcja przechodzi przez cały zakres liczbowy, oznacza to warunek:
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
d
x
=
1.
{\displaystyle {}\,\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)dx=1.}
To zapisy można interpretować jako stwierdzenie, że możemy być całkowicie pewni, że cokolwiek się wydarzy. Kiedy funkcja rozkładu nie spełnia tego warunku, musi zostać znormalizowana, czyli podzielona przez liczbę otrzymaną po całkowaniu.
Analogicznie, funkcja dystrybuanty
F
X
{\displaystyle F_{X}}
dąży w nieskończoności do jedności:
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }~F_{X}(x)=1.}
Jeden w nauce
Atom wodoru składa się z jednego protonu oraz jednego elektronu. Jest pierwszym pierwiastkiem w układzie okresowym.
W katalogu Messiera obiekt oznaczony jako M1, ma magnitudę 7,0 i jest pozostałością po supernowej w gwiazdozbiorze Byka – Mgławica Kraba.
W katalogu NGC numer 1 oznaczone jest spiralne galaktyka w gwiazdozbiorze Pegaza (NGC 1).
Pierwsza odkryta planeta karłowata to (1) Ceres.
Jeden w chronologii
Rok pierwszy naszej ery to rok, w którym według tradycji, urodził się Jezus Chrystus (faktycznie urodził się między 7 a 4 rokiem p.n.e). Rok 1 n.e. zainicjował tzw. naszą erę. Rok 1 p.n.e. bezpośrednio poprzedzał rok 1 n.e. Nie było „roku zerowego”.
Jeden w kulturze
W kulturze, jeden symbolizuje niepodzielność i nierozerwalność. Religie, których wyznawcy wierzą w istnienie tylko jednego Boga, określane są mianem monoteistycznych. Jedność często oznacza również wspólnotę ludzi wobec zagrożenia, jak w maksymie „W jedności siła”. Określenie jednostkowy albo jedyny natomiast odnosi się do unikalności danego zjawiska lub osoby oraz jego niepowtarzalności.
Ludzie często przywiązują wagę do tego, kto jest pierwszy. Pierwszy syn nazywany jest pierworodnym i w wielu kulturach to on ma prawo do dziedziczenia, na przykład tronu królewskiego. W mitologii większości ludów tworzy się obraz pierwszego legendarnego przedstawiciela danej cywilizacji. Dla Żydów pierwszym człowiekiem był Adam. W sporcie, zawodnik, który jako pierwszy przekroczy metę, zdobywa złoty medal.
Pierwsza sura Koranu nosi tytuł al-Fatihah, a pierwsza księga Biblii to Genesis. Bóg Ojciec to pierwsza osoba boska w Trójcy Świętej.
Postęp cywilizacji ludzkiej często opisuje się mówiąc, kto pierwszy dokonał danego wyczynu lub odkrycia, zachęcając innych do podążania ich śladami. Mówi się na przykład, że Kolumb był pierwszym, który dotarł do Ameryki, a Armstrong był pierwszym, który stanął na Księżycu.
Primus inter pares (łac. „pierwszy wśród równych”) oznacza osobę, która mimo posiadania takich samych praw jak inni członkowie grupy, cieszy się wyjątkowym poważaniem wśród nich.
Osoba, która jako pierwsza wpadnie na użyteczny pomysł, może go opatentować. Kiedy kilka osób stara się uzyskać prawa patentowe, o ich przyznaniu decyduje pierwszeństwo złożenia wniosku.
Jeden (ang. One) pojawia się jako tytuł w utworach wielu popularnych zespołów, takich jak Metallica, U2 (patrz: „One”), Creed, Alanis Morissette oraz Bee Gees.
Amerykański banknot jednodolarowy przedstawia podobiznę Waszyngtona, a moneta jednocentowa przedstawia Lincolna. Samolot prezydenta USA nosi oznaczenie Air Force One.
Pierwszą rocznicę ślubu określa się jako bawełnianą.
Jeden w kalendarzu
1. dniem w roku jest 1 stycznia. 1. miesiącem w roku jest styczeń, a 1. dniem tygodnia w kalendarzu gregoriańskim (obecnie obowiązującym w Polsce) jest poniedziałek. Zobacz również, co wydarzyło się w 1 roku n.e.
Zobacz też
0,(9)
Linki zewnętrzne
Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą w FAQ grupy pl.sci.matematyka
