0,(9) (czyli 0,999…) to alternatywna forma zapisu liczby 1 jako nieskończonego ułamka dziesiętnego. Równanie
0,(9) = 1
można udowodnić na różne sposoby.
Dowody
Dowód 1.
W tym dowodzie wykorzystano reprezentację ułamka
{\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}
w postaci liczby dziesiętnej
{\displaystyle 0{,}(1)}.
Z równości
{\displaystyle {\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)}
wynika, że
0,(9) = 9 ⋅ 0,(1) = 9 ⋅ {\frac {1}{9}} = 1.
Podobnie, ułamek
{\displaystyle {\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}}
można przedstawić jako liczbę dziesiętną
{\displaystyle 0{,}(3)}.
Stąd
0,(9) = 3 ⋅ 0,(3) = 3 ⋅ {\frac {1}{3}} = 1.
Inny sposób udowodnienia to rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch nieskończonych ułamków dziesiętnych, dla których znamy odpowiadające im ułamki zwykłe. Na przykład:
0,(9) = 0,(1) + 0,(8) = {\frac {1}{9}} + {\frac {8}{9}} = 1.
Inne przykłady rozkładów to:
0,(9) = 0,(2) + 0,(7) = 0,(3) + 0,(6) = 0,(4) + 0,(5) = 0,(1) + 0,(2) + 0,(2) + 0,(4).
Dowód 2.
Dowód ten polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od wyniku 0,(9) oraz podzieleniu przez 9:
x = 0,999…
10x = 9,999…
10x – x = 9,999… – 0,999…
9x = 9
x = 1.
Dowód 3.
Liczbę 0,(9) można także zapisać jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:
0,(9) = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + … = ∑n=1∞ {\frac {9}{10^{n}}}.
Używając wzoru na sumę szeregu geometrycznego, uzyskujemy:
∑n=1∞ {\frac {9}{10^{n}}} = {\frac {a_{1}}{1-q}} = {\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}} = 1.
Uwagi
Uwaga 1: Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej. Dla ułamków w postaci
{\displaystyle {\frac {c}{9}},\,\,1\leqslant c<9}
zachodzi równość
10 ⋅ {\frac {c}{9}} = c + {\frac {c}{9}}.
Oznacza to, że cyfry rozwinięcia dziesiętnego powtarzają się cyklicznie.
Ten algorytm nie działa jednak dla ułamka
{\displaystyle {\tfrac {9}{9}}},
co prowadzi do nieoczywistej równości:
9 = 0,(9),
którą należy udowodnić.
Uwaga 2: Dowód 2 jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły dowolnej liczby dziesiętnej okresowej.
Uwaga 3: Dwa pierwsze dowody, chociaż intuicyjne, korzystają z pewnych właściwości szeregów zbieżnych.
Zobacz też
paradoksy Zenona z Elei.
Linki zewnętrzne
Ułamek 0,(9), Uniwersytet Śląski w Katowicach (UŚ), math.us.edu.pl [dostęp 2024-11-29].