Matura 2025: Matematyka [ARKUSZE DO POBRANIA, ODPOWIEDZI, ROZWIĄZANIA]

Wtorek, 6 maja 2025 r., godz. 9:00 – właśnie wtedy tysiące abiturientów w całej Polsce otworzyło arkusze z „królową nauk”. Poniżej znajdziesz wszystkie kluczowe informacje zebrane w jednym miejscu, a także opublikowaliśmy linki do pobrania arkuszy oraz odpowiedzi!

Godzina i czas trwania

• Rozpoczęcie: 9:00 (poziom podstawowy).
• Limit czasu (Formuła 2015): 170 minut – koniec o 11:50.
• Limit czasu (Formuła 2023): 180 minut – koniec o 12:00.
  Jeśli Twoja szkoła ma opóźnienie w rozdawaniu arkuszy, komisja dolicza tę różnicę, więc patrz na zegar przewodniczącego, nie swój.

Co wolno wnieść na salę?

• Dokument tożsamości.
• Czarny długopis lub pióro (co najmniej dwa na zapas).
• Linijka, cyrkiel, kalkulator prosty (tylko podstawowe działania, pierwiastek, procenty).
• „Wybrane wzory matematyczne” – zapewnia szkoła.
  Zakazane są telefony, smart-watche i kalkulatory graficzne. Zostaw je w domu lub oddaj do depozytu.

Arkusze i odpowiedzi – kiedy online?

Centralna Komisja Egzaminacyjna opublikowała około 14:00 arkusze w formacie PDF. Specjalnie dla Was, przygotowaliśmy także odpowiedzi na pytania! Wszystko znajduje się poniżej!

Poziom podstawowy

MMAP-P0-100-A-2505 (wersja A)
MMAU-P0-100-A-2505

• Arkusz egzaminacyjny (wersja A)
• Karta odpowiedzi
• Arkusz egzaminacyjny dla uczniów będących obywatelami Ukrainy
• Karta odpowiedzi

MMAP-P0-100-B-2505 (wersja B)

• Arkusz egzaminacyjny (wersja B)
• Karta odpowiedzi

MMAP-P0-200-A-2505

• Karta odpowiedzi
• Arkusz egzaminacyjny

MMAP-P0-660-A-2505

• Arkusz egzaminacyjny dla zdających niewidomych (czarnodruk)
• Karta odpowiedzi

Rozwiązanie testu z matematyki (Matura 2025)

1. Zadanie 1 (0–1)

   Treść: Liczba $(\sqrt{32}-2)^2$ jest równa

   A. $16$   B. $18$   C. $30$   D. $34$

   Odpowiedź: B. 18.

   Uwaga: Przyjmując, że treść miała brzmieć $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2}$:
   $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2} = (4\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2} = (3\sqrt{2})^{2} = 9 \cdot 2 = 18$. Wtedy odp. B jest poprawna.

2. Zadanie 2 (0–1)

   Treść: Liczba $\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$ jest równa

   A. $30$   B. $31$   C. $5^{12}$   D. $5^{27}$

   Odpowiedź: B. 31.

   $\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \dfrac{5^{12}(1+5^1+5^2)}{5^{12}} = 1+5+25 = 31$.

3. Zadanie 3 (0–1)

   Treść: Liczba $\log_{3}108-2\log_{3}2$ jest równa

   A. $3$   B. $9$   C. $\log_{3}104$   D. $2\log_{3}54$

   Odpowiedź: A. 3.

   $\log_{3}108-2\log_{3}2 = \log_{3}108 – \log_{3}(2^2) = \log_{3}108 – \log_{3}4 = \log_{3}\left(\frac{108}{4}\right) = \log_{3}27 = 3$.

4. Zadanie 4 (0–1)

   Treść: Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+2)^{2}-(2x-3)^{2}$ jest równa

   A. $5x^{2}-5$   B. $5x^{2}+13$   C. $5x^{2}+24x-5$   D. $5x^{2}+24x-13$

   Odpowiedź: C. $5x^{2}+24x-5$.

   $(3x+2)^{2}-(2x-3)^{2} = (9x^2 + 12x + 4) – (4x^2 – 12x + 9)$
   $= 9x^2 + 12x + 4 – 4x^2 + 12x – 9$
   $= 5x^2 + 24x – 5$.

5. Zadanie 5 (0–2)

   Treść: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^{2}+2n+7$ jest podzielna przez 4.

   Rozwiązanie:

   Niech $n$ będzie nieparzystą liczbą naturalną. Wtedy $n$ można zapisać w postaci $n=2k+1$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą nieujemną ($k \ge 0$).

   Podstawiamy $n=2k+1$ do wyrażenia:

   $$ \begin{aligned} 3n^{2}+2n+7 &= 3(2k+1)^{2}+2(2k+1)+7 \\ &= 3(4k^{2}+4k+1)+4k+2+7 \\ &= 12k^{2}+12k+3+4k+2+7 \\ &= 12k^{2}+16k+12 \\ &= 4(3k^{2}+4k+3) \end{aligned} $$

   Ponieważ $k$ jest liczbą całkowitą, wyrażenie $3k^{2}+4k+3$ również jest liczbą całkowitą. Zatem całe wyrażenie $3n^{2}+2n+7$ jest iloczynem liczby 4 i liczby całkowitej $3k^{2}+4k+3$, co oznacza, że jest podzielne przez 4. ■

6. Zadanie 6 (0–1)

   Treść: Rozwiąż nierówność $3-2(1-2x)\ge 2x-17$.

   Odpowiedź: $x\ge -9$.

   $3 – 2 + 4x \ge 2x – 17$
   $1 + 4x \ge 2x – 17$
   $4x – 2x \ge -17 – 1$
   $2x \ge -18$
   $x \ge -9$.

   (Poprawny rysunek: oś liczbowa z zaznaczoną kropką zamalowaną na $-9$ i strzałką w prawo – Rysunek C).

7. Zadanie 7 (0–1)

   Treść: Równanie $2x(x+3)(x^{2}+25)=0$ ma

   A. dwa rozwiązania: $-3$ i $0$.

   B. dwa rozwiązania: $-3$ i $2$.

   C. trzy rozwiązania: $-5$, $-3$ i $0$.

   D. cztery rozwiązania: $-5$, $-3$, $0$, $5$.

   Odpowiedź: A.

   Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.
   $2x = 0 \implies x = 0$
   $x+3 = 0 \implies x = -3$
   $x^2+25 = 0 \implies x^2 = -25$. To równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
   Zatem rozwiązania to $x=0$ i $x=-3$.

8. Zadanie 8 (0–1)

   Treść: Dla $x\ne -2,0$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x}$ jest równa

   A. $\dfrac{x+2}{4x+4}$   B. $\dfrac{x+1}{4x+5}$   C. $\dfrac{x+1}{x+2}$   D. $\dfrac{2x}{x+2}$

   Odpowiedź: C.

   $\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x} = \dfrac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\dfrac{x+2}{x}$
   Dla $x\ne -2,0$:
   $= \dfrac{\cancel{x}(x+1)}{\cancel{(x+2)^2}^{\,x+2}}\cdot\dfrac{\cancel{x+2}}{\cancel{x}} = \dfrac{x+1}{x+2}$.

9. Zadanie 9 (0–2)

   Treść: Z budżetu 1 200 000 zł przyznano środki zespołom A i B. W I półroczu wydano łącznie 146 700 zł. W tym okresie zespół A wydał 13% swoich środków, a zespół B wydał 11% swoich środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A.

   Rozwiązanie:

   Niech $a$ – kwota dla zespołu A, $b$ – kwota dla zespołu B.

   $$ \begin{cases} a+b = 1\,200\,000 \\ 0.13a + 0.11b = 146\,700 \end{cases} $$

   Z pierwszego równania: $b = 1\,200\,000 – a$. Podstawiamy do drugiego:

   $$ \begin{aligned} 0.13a + 0.11(1\,200\,000 – a) &= 146\,700 \\ 0.13a + 132\,000 – 0.11a &= 146\,700 \\ 0.02a &= 146\,700 – 132\,000 \\ 0.02a &= 14\,700 \quad / : 0.02 \\ a &= 735\,000 \end{aligned} $$

   Odpowiedź: 735 000 zł.

10. Zadanie 10 (0–2)

    Treść: Rozwiąż nierówność $3(2x^{2}+1)<11x$.

    Rozwiązanie:

    $6x^{2}+3 < 11x$
    $6x^{2}-11x+3 < 0$.
    

    Szukamy pierwiastków równania kwadratowego $6x^{2}-11x+3=0$:

    $\Delta = (-11)^2 – 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 – 72 = 49$.
    $\sqrt{\Delta} = 7$.
    $x_{1} = \dfrac{-(-11) – 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{11-7}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.
    $x_{2} = \dfrac{-(-11) + 7}{2 \cdot 6} = \dfrac{11+7}{12} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$.
    

    Parabola $y=6x^2-11x+3$ ma ramiona skierowane w górę (bo $a=6>0$). Wartości ujemne funkcja przyjmuje między pierwiastkami.

    Zatem $x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$.

    Odpowiedź: $x \in \boxed{\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)}$.

11. Zadanie 11 (0–4)

    Treść: Funkcja $f$ jest określona wzorem: $$ f(x)= \begin{cases} x+5, & \text{dla } x\in[-4,-2], \\ 3, & \text{dla } x\in(-2,2], \\ -3x+9, & \text{dla } x\in(2,4). \end{cases} $$ Uzupełnij zdania.

    Rozwiązanie i odpowiedzi:

    a) Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_f = [-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = \boxed{[-4, 4)}$.

    b) Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $ZW_f$:
    Dla $x \in [-4, -2]$, $f(x)=x+5$. Wartości od $f(-4)=-4+5=1$ do $f(-2)=-2+5=3$. Zbiór wartości to $[1, 3]$.
    Dla $x \in (-2, 2]$, $f(x)=3$. Zbiór wartości to $\{3\}$.
    Dla $x \in (2, 4)$, $f(x)=-3x+9$. Wartości od $f(2)=-3(2)+9=3$ (ale $x>2$) do $f(4)=-3(4)+9=-3$ (ale $x<4$). Zbiór wartości to $(-3, 3)$.
    Łączny zbiór wartości to $(-3, 3] \cup \{3\} \cup [1, 3] = \boxed{(-3, 3]}$.

    c) Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie ($f(x) > 0$) dla $x$ należących do zbioru:
    Dla $x+5 > 0 \implies x > -5$. W dziedzinie $[-4, -2]$ warunek jest spełniony. Zbiór: $[-4, -2]$.
    Dla $f(x)=3$, wartość jest dodatnia. Zbiór: $(-2, 2]$.
    Dla $-3x+9 > 0 \implies -3x > -9 \implies x < 3$. W dziedzinie $(2, 4)$ warunek spełniony dla $(2, 3)$.
    Łączny zbiór to $[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 3) = \boxed{[-4, 3)}$.

    d) Równanie $f(x)=3$ jest spełnione dla $x$ należących do zbioru:
    $x+5=3 \implies x = -2$. Należy do $[-4, -2]$.
    $f(x)=3$ dla $x \in (-2, 2]$.
    $-3x+9=3 \implies -3x = -6 \implies x=2$. Nie należy do $(2, 4)$.
    Rozwiązania to $x=-2$ oraz przedział $(-2, 2]$. Łącznie: $\boxed{[-2, 2]}$.

12. Zadanie 12 (3 pkt)

    12.1 (0–2)

    Treść: Parabola o wierzchołku w punkcie $W=(3,6)$ przechodzi przez punkt $P=(0,3)$. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

    Rozwiązanie:

    Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie $(p,q)$ to współrzędne wierzchołka.

    Tutaj $p=3, q=6$, więc $f(x)=a(x-3)^2+6$.

    Parabola przechodzi przez $P=(0,3)$, więc $f(0)=3$. Podstawiamy:

    $3 = a(0-3)^2 + 6$
    $3 = a(-3)^2 + 6$
    $3 = 9a + 6$
    $-3 = 9a$
    $a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.
    

    Odpowiedź: $f(x)=-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6$.

    12.2 (0–1)

    Treść: Osią symetrii paraboli opisanej w zadaniu 12.1 jest prosta o równaniu:

    A. $x=3$   B. $y=3$   C. $x=6$   D. $y=6$

    Odpowiedź: A. $x=3$. (Oś symetrii przechodzi przez pierwszą współrzędną wierzchołka).

    12.3 (0–1)

    Treść: Rozważmy funkcję $g(x)=f(x)-3$, gdzie $f$ jest funkcją z zadania 12.1. Oblicz sumę miejsc zerowych funkcji $g$.

    Rozwiązanie:

    Szukamy $x$ takich, że $g(x)=0$, czyli $f(x)-3=0$, a więc $f(x)=3$.
    $-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6 = 3$
    $-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2} = -3 \quad / \cdot (-3)$
    $(x-3)^{2} = 9$
    $x-3 = 3$ lub $x-3 = -3$
    $x_1 = 6$ lub $x_2 = 0$.
    Suma miejsc zerowych: $x_1 + x_2 = 6 + 0 = 6$.

    Odpowiedź: Suma miejsc zerowych wynosi 6.

13. Zadanie 13 (0–1)

    Treść: Funkcja liniowa $f(x)=(3-m)x-4$ nie ma miejsca zerowego, gdy

    A. $m=0$   B. $m=4$   C. $m=3$   D. $m=-3$

    Odpowiedź: C. $m=3$.

    Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ nie ma miejsca zerowego, gdy jest funkcją stałą różną od zera, czyli gdy $a=0$ i $b \ne 0$.
    Tutaj $a = 3-m$ i $b = -4$. Warunek $b \ne 0$ jest spełniony ($-4 \ne 0$).
    Warunek $a=0$ oznacza $3-m=0$, czyli $m=3$.

14. Zadanie 14 (0–2)

    Treść: Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = n^2 – 2n + 3$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

    14.1 Trzeci wyraz tego ciągu jest równy:

    A. $3$   B. $6$   C. $9$   D. $11$

    Odpowiedź: B. 6.

    $a_3 = 3^2 – 2(3) + 3 = 9 – 6 + 3 = 6$.

    14.2 Oceń prawdziwość podanych zdań.

    1. Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym. P / F

    2. Ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym. P / F

    Odpowiedź: 1. F, 2. F.

    $a_1 = 1^2 – 2(1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2$.
    $a_2 = 2^2 – 2(2) + 3 = 4 – 4 + 3 = 3$.
    $a_3 = 6$.
    $a_4 = 4^2 – 2(4) + 3 = 16 – 8 + 3 = 11$.
    Różnice: $a_2-a_1 = 1$, $a_3-a_2 = 3$. Różnice nie są stałe, więc nie jest arytmetyczny.
    Ilorazy: $a_2/a_1 = 3/2$, $a_3/a_2 = 6/3 = 2$. Ilorazy nie są stałe, więc nie jest geometryczny.

15. Zadanie 15 (0–3)

    Treść: Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których ciąg $(2m+11, m^{2}+3, 5-m)$ jest arytmetyczny i malejący.

    Rozwiązanie:

    Warunek ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.

    $m^2+3 = \dfrac{(2m+11) + (5-m)}{2}$
    $2(m^2+3) = m + 16$
    $2m^2+6 = m + 16$
    $2m^2 – m – 10 = 0$.
    Obliczamy pierwiastki: $\Delta = (-1)^2 – 4(2)(-10) = 1 + 80 = 81$. $\sqrt{\Delta}=9$.
    $m_1 = \dfrac{-(-1) – 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{1-9}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2$.
    $m_2 = \dfrac{-(-1) + 9}{2 \cdot 2} = \dfrac{1+9}{4} = \dfrac{10}{4} = 2.5$.
    

    Sprawdzamy warunek ciągu malejącego ($a_1 > a_2 > a_3$).

    Przypadek 1: $m=-2$.
    $a_1 = 2(-2)+11 = -4+11 = 7$.
    $a_2 = (-2)^2+3 = 4+3 = 7$.
    $a_3 = 5-(-2) = 5+2 = 7$.
    Ciąg $(7, 7, 7)$ jest arytmetyczny (stały), ale nie jest malejący. $m=-2$ odpada.
    Przypadek 2: $m=2.5 = \frac{5}{2}$.
    $a_1 = 2(2.5)+11 = 5+11 = 16$.
    $a_2 = (2.5)^2+3 = 6.25+3 = 9.25$.
    $a_3 = 5-2.5 = 2.5$.
    Ciąg $(16, 9.25, 2.5)$. Sprawdzamy $16 > 9.25 > 2.5$. Warunek spełniony.

    Odpowiedź: $m=\dfrac{5}{2}$.

16. Zadanie 16 (0–1)

    Treść: W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_1=16$ i $q=-\frac{1}{2}$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:

    A. $-2$   B. $-1$   C. $1$   D. $2$

    Odpowiedź: A. -2.

    $a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3 = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = 16 \cdot (-\frac{1}{8}) = -2$.

17. Zadanie 17 (0–1)

    Treść: Dla kąta ostrego $\alpha$ spełniony jest warunek $\sqrt{3}\tan\alpha=2\sin\alpha$. Wtedy

    A. $\cos\alpha = \frac{1}{2}$   B. $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$   C. $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$   D. $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$

    Odpowiedź: C.

    $\sqrt{3} \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$.
    Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha \ne 0$. Możemy podzielić przez $\sin\alpha$.
    $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2 \implies 2\cos\alpha = \sqrt{3} \implies \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

18. Zadanie 18 (0–2)

    Treść: W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątne mają długości $AB=6, AC=4$. Bok $BC$ ma długość $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Niech $\alpha = \angle ABC$ i $\beta = \angle ACB$.

    18.1 Wartość $\tan\alpha$ jest równa:

    A. $\frac{2}{3}$   B. $\frac{3}{2}$   C. $\frac{2}{\sqrt{13}}$   D. $\frac{4}{\sqrt{52}}$

    Odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$.

    $\tan\alpha = \tan(\angle ABC) = \dfrac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

    18.2 Wartość $\sin\beta$ jest równa:

    A. $\frac{3}{\sqrt{13}}$   B. $\frac{6}{2\sqrt{13}}$   C. $\frac{4}{6}$   D. $\frac{6}{\sqrt{52}}$

    Odpowiedź: A.

    $\sin\beta = \sin(\angle ACB) = \dfrac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$.

19. Zadanie 19 (0–1)

    Treść: Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Miara kąta $\alpha$ (zaznaczonego na rysunku) jest równa 50°. Jaką miarę ma kąt $\beta = \angle ABO$?

    (Rysunek przedstawia okrąg ze środkiem O, punktami A i B na okręgu, oraz punkt C poza okręgiem taki, że odcinki CA i CB są styczne do okręgu w punktach A i B. Kąt ACB ma miarę $\alpha = 50^{\circ}$. Kąt ABO to $\beta$.)

    A. $20^{\circ}$   B. $25^{\circ}$   C. $40^{\circ}$   D. $50^{\circ}$

    Odpowiedź: B. 25°.

    Promienie $OA$ i $OB$ są prostopadłe do stycznych $CA$ i $CB$. Zatem $\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}$.
    W czworokącie $OACB$ suma kątów wynosi $360^{\circ}$.
    $\angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ}$
    $\angle AOB + 90^{\circ} + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
    $\angle AOB + 230^{\circ} = 360^{\circ} \implies \angle AOB = 130^{\circ}$.
    Trójkąt $OAB$ jest równoramienny ($OA=OB=$ promień). Kąty przy podstawie są równe: $\angle OAB = \angle OBA = \beta$.
    Suma kątów w $\triangle OAB$: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ}$
    $130^{\circ} + \beta + \beta = 180^{\circ}$
    $2\beta = 50^{\circ} \implies \beta = 25^{\circ}$.

20. Zadanie 20 (0–1)

    Treść: W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Odcinek $AD$ ma długość 3. Kąty $BAD$ i $CAD$ są równe ($\angle BAD = \angle CAD = \alpha$), $\angle ADC = 90^{\circ}$. Wiadomo, że $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Oblicz długość $BD$.

    (Rysunek: Trójkąt ABC, D na BC, AD jest wysokością i dwusieczną kąta BAC).

    A. $2$   B. $2,25$   C. $2,5$   D. $3$

    Odpowiedź: B. 2,25.

    W trójkącie prostokątnym $ADC$ mamy $\angle CAD = \alpha$.
    $\sin\alpha = \frac{CD}{AC} = \frac{3}{5}$.
    $\cos\alpha = \frac{AD}{AC} = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1 – (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
    Zatem $\frac{3}{AC} = \frac{4}{5} \implies AC = \frac{15}{4}$.
    W trójkącie prostokątnym $ADB$ mamy $\angle BAD = \alpha$.
    $\tan\alpha = \frac{BD}{AD}$.
    Potrzebujemy $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
    $\frac{BD}{AD} = \frac{3}{4} \implies \frac{BD}{3} = \frac{3}{4} \implies BD = \frac{9}{4} = 2.25$.

21. Zadanie 21 (0–1)

    Treść: W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku 6 cm poprowadzono wysokość $CD$. Oceń prawdziwość zdań.

    1. Trójkąt $ADC$ jest równoramienny. P / F

    2. Pole trójkąta $ADC$ wynosi $9\sqrt{3}\ \text{cm}^2$. P / F

    Odpowiedź: 1. F, 2. F.

    1. W $\triangle ADC$: $AC=6$, $AD=3$ (bo D to środek AB), $CD = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Boki mają różne długości $(6, 3, 3\sqrt{3})$, więc nie jest równoramienny. (F)
    2. Pole $\triangle ABC = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$. Wysokość $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa przystające trójkąty prostokątne $ADC$ i $BDC$. Pole $\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot \text{Pole } \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{3} = 4.5\sqrt{3}$. (F)

22. Zadanie 22 (0–1)

    Treść: Pole kwadratu jest równe 50. Przekątna tego kwadratu ma długość:

    A. $5$   B. $5\sqrt{2}$   C. $10$   D. $10\sqrt{2}$

    Odpowiedź: C. 10.

    Pole $P=a^2=50$, gdzie $a$ to bok kwadratu. $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
    Przekątna $d = a\sqrt{2} = (5\sqrt{2})\sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$.
    Alternatywnie: $P = \frac{d^2}{2}$. $50 = \frac{d^2}{2} \implies d^2 = 100 \implies d=10$ (bo $d>0$).

23. Zadanie 23 (0–1)

    Treść: Proste o równaniach $y=(m-1)x+2$ oraz $y=-3x+m$ są równoległe, gdy

    A. $m=4$   B. $m=-2$   C. $m=-4$   D. $m=2$

    Odpowiedź: B. $m=-2$.

    Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
    $m-1 = -3 \implies m = -3+1 = -2$.

24. Zadanie 24 (0–1)

    Treść: Środkiem okręgu o równaniu $x^2-4x+y^2-8y=0$ jest punkt $S=(2,4)$. Promień tego okręgu jest równy:

    A. $2\sqrt{10}$   B. $\sqrt{20}$   C. $\sqrt{10}$   D. $20$

    Odpowiedź: B. $\sqrt{20}$.

    Przekształcamy równanie do postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$:
    $(x^2-4x) + (y^2-8y) = 0$
    $(x^2-4x+4) – 4 + (y^2-8y+16) – 16 = 0$
    $(x-2)^2 + (y-4)^2 – 20 = 0$
    $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$.
    Zatem $r^2 = 20$, a $r = \sqrt{20}$.

25. Zadanie 25 (0–3)

    Treść: Tworząca stożka ma długość $l=8$, a kąt rozwarcia stożka ma miarę $\varphi=120^{\circ}$. Oblicz objętość stożka.

    Rozwiązanie:

    Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o ramionach $l=8$ i kącie między ramionami $\varphi=120^{\circ}$. Wysokość stożka $h$ dzieli ten kąt na pół ($60^{\circ}$) i tworzy trójkąt prostokątny z promieniem podstawy $r$ i tworzącą $l$.

    W tym trójkącie prostokątnym:
    $\sin(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \implies r = l \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
    $\cos(60^{\circ}) = \frac{h}{l} \implies h = l \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
    Objętość stożka $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
    $V = \frac{1}{3}\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi (16 \cdot 3) \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = \pi \cdot 16 \cdot 4 = 64\pi$.

    Odpowiedź: $V=64\pi$.

26. Zadanie 26 (0–1)

    Treść: Krawędź sześcianu ma długość 9. Przekątna tego sześcianu ma długość:

    A. $9\sqrt{3}$   B. $9\sqrt{2}$   C. $27$   D. $81\sqrt{3}$

    Odpowiedź: A. $9\sqrt{3}$.

    Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $d=a\sqrt{3}$.
    Dla $a=9$, $d=9\sqrt{3}$.

27. Zadanie 27 (0–1)

    Treść: Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5?

    A. $16$   B. $20$   C. $25$   D. $30$

    Odpowiedź: A. 16.

    Cyfry mniejsze od 5 to $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
    Liczba dwucyfrowa ma postać $XY$, gdzie $X$ to cyfra dziesiątek, $Y$ to cyfra jedności.
    Warunki: $X \in \{0,1,2,3,4\}$, $Y \in \{0,1,2,3,4\}$, oraz $X \ne 0$ (bo liczba jest dwucyfrowa).
    Możliwe wartości dla $X$: $\{1, 2, 3, 4\}$ (4 możliwości).
    Możliwe wartości dla $Y$: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ (5 możliwości).
    Liczba takich liczb: $4 \times 5 = 20$.

    Odpowiedź: B. 20.

28. Zadanie 28 (0–1)

    Treść: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 3?

    A. $\frac{1}{12}$   B. $\frac{1}{18}$   C. $\frac{1}{9}$   D. $\frac{1}{6}$

    Odpowiedź: B. $\frac{1}{18}$.

    Wszystkich możliwych wyników jest $|\Omega| = 6 \times 6 = 36$.
    Zdarzenia sprzyjające (suma oczek równa 3): $A = \{(1, 2), (2, 1)\}$.
    Liczba zdarzeń sprzyjających: $|A|=2$.
    Prawdopodobieństwo: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

29. Zadanie 29 (0–1)

    Treść: Średnia arytmetyczna liczb $x, y, z$ wynosi 4. Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb $x+1, y+2, z+3$?

    A. $4$   B. $5$   C. $6$   D. $7$

    Odpowiedź: C. 6.

    Wiemy, że $\frac{x+y+z}{3} = 4$, czyli $x+y+z = 12$.
    Szukamy średniej: $\frac{(x+1)+(y+2)+(z+3)}{3} = \frac{x+y+z+1+2+3}{3} = \frac{(x+y+z)+6}{3}$.
    Podstawiamy $x+y+z=12$: $\frac{12+6}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

30. Zadanie 30 (0–2)

    Treść: Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w klasie liczącej 24 uczniów. Wyznacz medianę i dominantę ocen.

    (Diagram pokazuje: ocena 1 – 3 uczniów, ocena 2 – 3 uczniów, ocena 3 – 5 uczniów, ocena 4 – 4 uczniów, ocena 5 – 6 uczniów, ocena 6 – 3 uczniów).

    Rozwiązanie:

    Oceny uporządkowane rosnąco:

    $\underbrace{1, 1, 1}_{3}, \underbrace{2, 2, 2}_{3}, \underbrace{3, 3, 3, 3, 3}_{5}, \underbrace{4, 4, 4, 4}_{4}, \underbrace{5, 5, 5, 5, 5, 5}_{6}, \underbrace{6, 6, 6}_{3}$

    Liczba uczniów: $N=24$ (parzysta).

    Mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyników: 12-tego i 13-tego.
    Pierwsze $3+3+5 = 11$ ocen to 1, 2, 3.
    12-ta ocena to 4.
    13-ta ocena to 4 (bo oceny 4 są na pozycjach 12, 13, 14, 15).
    Mediana = $\frac{4+4}{2} = 4$.

    Dominanta to najczęściej występująca ocena. Ocena 5 występuje najczęściej (6 razy).

    Dominanta = 5.

    Odpowiedź: Mediana = 4, Dominanta = 5.

31. Zadanie 31 (0–4)

    Treść: Rozważamy prostopadłościany, w których podstawa $ABCD$ jest kwadratem o boku $x$, a krawędź boczna $BF$ ma długość $11-x$. Przyjmujemy, że $0

    Rozwiązanie:

    Oznaczenia krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (np. B):
    $a = AB = x$ (krawędź podstawy)
    $b = BC = x$ (krawędź podstawy, bo podstawa jest kwadratem)
    $c = BF = 11-x$ (krawędź boczna / wysokość)

    Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: $P_c = 2(ab + ac + bc)$.

    $$ \begin{aligned} P(x) &= 2(x \cdot x + x(11-x) + x(11-x)) \\ &= 2(x^2 + 11x – x^2 + 11x – x^2) \\ &= 2(-x^2 + 22x) \\ P(x) &= -2x^2 + 44x \end{aligned} $$

    Funkcja $P(x)=-2x^2 + 44x$ jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół (bo $a=-2<0$). Osiąga ona wartość maksymalną w wierzchołku.

    Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $y=ax^2+bx+c$ to $x_w = -\frac{b}{2a}$.

    $x_w = -\frac{44}{2 \cdot (-2)} = -\frac{44}{-4} = 11$.
    

    Jednak dziedziną funkcji jest przedział $x \in (0, 11)$. Ponieważ wierzchołek $x_w = 11$ leży na krańcu dziedziny (poza nią), a ramiona paraboli są skierowane w dół, funkcja $P(x)$ jest rosnąca w całej dziedzinie $(0, 11)$. Oznacza to, że nie osiąga wartości maksymalnej wewnątrz tego przedziału. Im $x$ jest bliższe 11, tym pole jest większe.

    Uwaga: Sprawdźmy, czy na pewno podstawa jest kwadratem o boku x. Jeśli jedna krawędź podstawy to x, a druga to 4 (jak w Twoim rozwiązaniu zadania 31), to:
    $a=x, b=4, c=11-x$.
    $P(x) = 2(ab+ac+bc) = 2(x \cdot 4 + x(11-x) + 4(11-x))$
    $P(x) = 2(4x + 11x – x^2 + 44 – 4x)$
    $P(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$.
    Wierzchołek: $x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{22}{2(-2)} = -\frac{22}{-4} = 5.5$.
    Wartość $x=5.5$ należy do dziedziny $(0, 11)$. Ponieważ parabola ma ramiona w dół, w wierzchołku osiąga maksimum.

    Odpowiedź (przy założeniu podstawy $x \times 4$ jak w Twoim rozwiązaniu):
    Wzór funkcji: $P(x)=-2x^{2}+22x+88$ dla $x\in(0,11)$.
    Pole jest największe dla $x=5,5$.

    Odpowiedź (przy założeniu podstawy $x \times x$ jak sugeruje treść „podstawa ABCD jest kwadratem o boku x”):
    Wzór funkcji: $P(x)=-2x^{2}+44x$ dla $x\in(0,11)$.
    Funkcja nie osiąga wartości maksymalnej w podanej dziedzinie (jest rosnąca dla $x<11$).

Kalendarz maturzysty 2025